\def\softd{{\leavevmode\setbox1=\hbox{d}%
\hbox to 1.05\wd1{d\kern-0.4ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softt{{\leavevmode\setbox1=\hbox{t}%
\hbox to \wd1{t\kern-0.6ex{\char039}\hss}}}%cstocs
\def\softl{l\kern-0.45ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern-0.10ex}%cstocs
\def\softL{L\kern-0.8ex\raise0.1ex\hbox{'}\kern0.1ex}%cstocs
% endofdefsfromcstocs %

\input czech.sty
\font\velky=csbx12
\def\vramu#1{\vbox{\hrule\hbox{\vrule\strut#1\vrule}\hrule}}
\newbox\ramecek \newdimen\vyska \newdimen\hloubka
\def\Vramu#1{\setbox\ramecek\hbox{#1}\vyska=\ht\ramecek
\hloubka=\dp\ramecek \advance\vyska by 3pt \advance\hloubka by 3pt
\vbox{\hrule\hbox{\vrule height \vyska depth \hloubka \hskip 3pt
\unhbox\ramecek\hskip 3pt\vrule}\hrule}}
\def\pF{{p_{\vphantom{\'I}\rm F}}}
\centerline{\velky Statick\'y b\'{\i}l\'y trpasl\'{\i}k}
\vskip 6pt
\leftline{\bf 1. Z\'akladn\'{\i} vztahy z~mechaniky tekutin}
Nejjednodu\v{s}\v{s}\'{\i} je zapomenout na teorii relativity a omezit se na
klasickou newtonovskou mechaniku; proto\v{z}e ve statick\'em b\'{\i}l\'em trpasl\'{\i}kovi
nelze o\v{c}ek\'avat makroskopick\'e rychlosti srovnateln\'e s~rychlost\'{\i} sv\v{e}tla,
projev\'{\i} se relativistick\'e efekty pouze p\v{r}i velk\'ych hmotnostech, a to
v~chov\'an\'{\i} gravita\v{c}n\'{\i}ho pole. Vyjdeme tedy z~klasick\'eho Newtonova druh\'eho
z\'akona pohybu:
$$m{{\rm d}\vec{v}\over{\rm d}t}=\vec{F}\eqno{(1.1)}$$
Rychlost t\v{e}lesa $\vec{v}$ ov\v{s}em mus\'{\i}me pro tekutinu nahradit rychlost\'{\i}
$\vec{u}(\vec{r})$ tekutiny bod\v{e} $\vec{r}$, hmotnost $m$ vzt\'ahnout na
objem, to jest nahradit hustotou tekutiny $\varrho$ v~dan\'em bod\v{e}, a se
silou $\vec{F}$ si po\v{c}\'{\i}nat obdobn\v{e} --- hustotu s\'{\i}ly ozna\v{c}\'{\i}me $\vec{f}$.
Pouze \v{c}as $t$ z\accent23ust\'av\'a (aspo\v{n} v~r\'amci klasick\'e fyziky) nedotknuteln\'y.
Druh\'y Newton\accent23uv z\'akon pak m\'a pro tekutinu tvar:
$$\varrho(\vec{r}){{\rm d}\vec{u}\over{\rm
d}t}(\vec{r})=\vec{f}(\vec{r})\eqno{(1.2)}$$

Z\'avislost na $\vec{r}$ nebudeme nad\'ale v\'yslovn\v{e} vypisovat. V~rovnici
(1.2) n\'am jej\'{\i} uveden\'{\i} umo\v{z}nilo zd\accent23uraznit, \v{z}e ${{\rm d}\vec{u}\over{\rm
d}t}(\vec r)$ nevyjad\v{r}uje zm\v{e}nu rychlosti tekutiny v~dan\'em bod\v{e}
$\partial\vec u(\vec r)\over\partial t$, n\'ybr\v{z}, zcela analogicky (1.1),
zm\v{e}nu rychlosti (nekonecn\v{e}) mal\'eho objemu tekutiny, kter\'y se pr\'av\v{e}
nach\'az\'{\i} v~bod\v{e} $\vec r$. Sledujeme-li tento objem po jeho dr\'aze, snadno
si uv\v{e}dom\'{\i}me, \v{z}e $\partial\vec u\over\partial t$ hraje skute\v{c}n\v{e} roli
parci\'aln\'{\i} derivace a plat\'{\i}:
$${{\rm d}\vec u\over{\rm d}t}={\partial\vec u\over\partial t}+{{\rm d}\vec
r\over{\rm d}t}\cdot\nabla\vec u={\partial\vec u\over\partial t}+\vec u\cdot
\nabla\vec u\eqno{(1.3)}$$

Hustota s\'{\i}ly $\vec f$ na prav\'e stran\v{e} (1.2) poch\'az\'{\i} jednak od vn\v{e}j\v{s}\'{\i}ch
sil, jednak od sil vnit\v{r}n\'{\i}ch. Kdy\v{z} zanedb\'ame viskozitu tekutiny, z\accent23ust\'av\'a
jedin\'ym projevem vnit\v{r}n\'{\i}ch sil tlak $P$, jeho\v{z} p\v{r}\'{\i}sp\v{e}vek $\vec f_P$ k~hustot\v{e}
s\'{\i}ly $\vec f$ p\accent23usob\'{\i}c\'{\i} na (nekone\v{c}n\v{e}) mal\'y objem $V$ dostaneme integrac\'{\i}
p\v{r}es jeho hrani\v{c}n\'{\i} plochu $\partial V$ (vektorov\'y diferenci\'al plochy
$\overrightarrow{{\rm d}S}$ m\'a sm\v{e}r vn\v{e}j\v{s}\'{\i} norm\'aly):
$$\vec f_P=\lim_{V\to0}{1\over V}\oint\limits_{\partial V}-P\overrightarrow{{\rm
d}S}\eqno{\rm (1.4a)}$$
Integr\'al uprav\'{\i}me podle Gaussovy v\v{e}ty a limitu provedeme bu\softd{} intuitivn\v{e}
nebo podle v\v{e}ty o~st\v{r}edn\'{\i} hodnot\v{e}:
$$\vec f_P=\lim_{V\to0}{1\over V}\int\limits_V-\nabla P{\rm d}V=-\nabla
P\eqno{\rm (1.4b)}$$
Z~vn\v{e}j\v{s}\'{\i}ch sil (to jest sil, kter\'e by v~dan\'em bod\v{e} p\accent23usobily na testovac\'{\i}
\v{c}\'astici nez\'avisle ne p\v{r}\'{\i}tomnosti tekutiny v~jeho nejbli\v{z}\v{s}\'{\i}m okol\'{\i}) budeme
uva\v{z}ovat pouze s\'{\i}lu gravita\v{c}n\'{\i}, popsanou gravita\v{c}n\'{\i}m zrychlen\'{\i}m $\vec
g$. Celkov\v{e} tedy:
$$\vec f=\varrho\vec g-\nabla P\eqno{\rm (1.4c)}$$

Dosad\'{\i}me (1.3) a (1.4c) do (1.2) a v\'yslednou rovnici vyd\v{e}l\'{\i}me $\varrho$:
$$\Vramu{$\displaystyle{\partial\vec u\over\partial t}+\vec u\cdot\nabla\vec u=\vec
g-{1\over\varrho}\nabla P$}\eqno{\raise \hloubka \hbox{(1.5)}}$$
T\'{\i}m jsme dostali Eulerovu rovnici, tak zn\'amou, \v{z}e by ji b\'yvalo mo\v{z}n\'a
bylo rozumn\v{e}j\v{s}\'{\i} napsat rovnou. Pro n\v{e}kter\'e \'u\v{c}ely se hod\'{\i} p\v{r}epsat ji
pomoc\'{\i} vektorov\'e identity
$$\vec u\times (\nabla\times\vec u)={1\over 2}\nabla u^2-\vec
u\cdot\nabla\vec u\eqno{(1.6)}$$
do tvaru:
$${\partial\vec u\over\partial t}-\vec u\times (\nabla\times\vec
u)+{1\over 2}\nabla u^2=\vec g-{1\over\varrho}\nabla P\eqno{(1.7)}$$

O~tekutin\v{e} se \v{c}asto p\v{r}edpokl\'ad\'a, \v{z}e je barotropn\'{\i}, to jest, \v{z}e jej\'{\i}
tlak~$P$ je jednozna\v{c}n\v{e} ur\v{c}en hustotou~$\varrho$ :
$$P\equiv P(\varrho)\eqno{(1.8)}$$
Tento p\v{r}edpoklad je spln\v{e}n, pokud n\v{e}kter\'a z~termodynamick\'ych veli\v{c}in,
nap\v{r}\'{\i}klad teplota nebo enthropie (m\v{e}rn\'a samoz\v{r}ejm\v{e}, nebo\softt{} pot\v{r}ebujeme
pracovat s~veli\v{c}inami definovan\'ymi lok\'aln\v{e}), z\accent23ust\'av\'a konstantn\'{\i} a nem\v{e}n\'{\i}
se slo\v{z}en\'{\i} tekutiny (chemick\'ymi ani jadern\'ymi reakcemi ani difuz\'{\i} slo\v{z}ek
sm\v{e}si). (1.8) tedy plat\'{\i} t\'em\v{e}\v{r} ve v\v{s}ech p\v{r}\'{\i}padech idealizovan\'ych a t\'em\v{e}\v{r}
v~\v{z}\'adn\'em re\'aln\'em. Zato dal\v{s}\'{\i} p\v{r}edpoklad, toti\v{z} \v{z}e existuje potenci\'al
$\phi$ gravita\v{c}n\'{\i}ho pole:
$$\vec g=-\nabla\phi\eqno{(1.9)}$$
neznamen\'a \v{z}\'adn\'e fyzik\'aln\'{\i} omezen\'{\i}.

Uprav\'{\i}me-li (1.7) p\v{r}i platnosti (1.8) a (1.9), dostaneme
$$\eqalignno{{\partial\vec u\over\partial t}-\vec u\times
(\nabla\times\vec u)+{1\over2}\nabla u^2&=-\nabla\phi
-{1\over\varrho}\nabla P(\varrho)\cr
{\partial\vec u\over\partial t}-\vec u\times
(\nabla\times\vec u)+\nabla ({1\over2}u^2)&=-\nabla\phi
-{1\over\varrho}{{\rm d}P\over{\rm d}\varrho}\cr
{\partial\vec u\over\partial t}-\vec u\times
(\nabla\times\vec u)&=-\nabla ({1\over2}u^2+\phi +h)&(1.10)\cr}$$
kde $$h=_{\rm def.}\int{1\over\varrho}{{\rm d}P\over{\rm d}\varrho}{\rm
d}\varrho =\int{{\rm d}P\over\varrho}\eqno{(1.11)}$$
m\accent23u\v{z}eme (vzhledem k~postaven\'{\i} vedle ${1\over 2}u^2$ a $\phi$)
interpretovat jako vnit\v{r}n\'{\i} energii tekutiny na jednotku hmotnosti.

Rotace rovnice (1.10) d\'a
$$\eqalignno{\nabla\times{\partial\vec u\over\partial t}-\nabla\times
\left(\vec u\times (\nabla\times\vec u)\right) &=-\nabla ({1\over2}u^2+\phi +h)\cr
&=0&(1.12)\cr}$$
Zavedeme-li v\'{\i}\v{r}ivost tekutiny $\vec\omega$ vztahem
$$\vec\omega=_{\rm def.}\nabla\times\vec u\eqno{(1.13)}$$
p\v{r}ejde (1.12) na:
$${\partial\vec\omega\over\partial t}+\nabla\times
(\vec\omega\times\vec u)=0\eqno{(1.14)}$$

Jin\'e zaj\'{\i}mav\'e podoby nab\'yv\'a (1.10) v~p\v{r}\'{\i}pad\v{e} stacion\'arn\'{\i}ho proud\v{e}n\'{\i}, kdy
${\partial\over\partial t}\vec u=0$. Kdy\v{z} pak (1.10) skal\'arn\v{e} vyn\'asob\'{\i}me
$\vec u$, anulujeme i \v{c}len $\vec u\times (\nabla\times\vec u)$ a
dostaneme:
$$\vec u\cdot\nabla ({1\over 2}u^2+\phi +h)\equiv\vec u\cdot\nabla{\cal
B}=0\eqno{(1.15)}$$
Veli\v{c}ina
$${\cal B}=_{\rm def.}{1\over 2}u^2+\phi +h\eqno{(1.16)}$$
m\'a v\'yznam celkov\'e energie proud\'{\i}c\'{\i} tekutiny na jednotku hmoty a
rovnice~(1.14), zvan\'a Bernoulliova, \v{r}\'{\i}k\'a, \v{z}e pod\'el proudnice se ${\cal B}$
zachov\'av\'a. Jde tedy o~jednu z~podob z\'akona zachov\'an\'{\i} energie.

Nejjednodu\v{s}\v{s}\'{\i} zvl\'a\v{s}tn\'{\i} tvar m\'a Eulerova rovnice (1.6) pro tekutinu
statickou, to jest, kdy\v{z} $\vec u\equiv 0$. Pak p\v{r}ech\'az\'{\i} na rovnici
hydrostatick\'e rovnov\'ahy (pro nevisk\'ozn\'{\i} tekutinu):
$$\vec g\equiv -\nabla\phi ={1\over\varrho}\nabla P\eqno{(1.17)}$$
Rovnice (1.17) je ve skute\v{c}nosti jedinou rovnic\'{\i} z~mechaniky tekutin,
kterou budeme v~p\v{r}\'{\i}\v{s}t\'{\i}ch v\'ypo\v{c}tech pot\v{r}ebovat. Stoj\'{\i} za pov\v{s}imnut\'{\i}, \v{z}e
ve statick\'e tekutin\v{e} se nem\accent23u\v{z}eme setkat s~efekty relativistick\'e
kinematiky.

\penalty -100
\vskip 6pt
\leftline{\bf 2. Degenerovan\'y Fermiho plyn}
\penalty 10000
Degenerovan\'y Fermiho plyn je limitn\'{\i}m p\v{r}\'{\i}padem Fermiho--Diracovy
statistiky pro neinteraguj\'{\i}c\'{\i} soustavu \v{c}\'astic p\v{r}i teplot\v{e} $T=0{\rm K}$;
pro jeho pochopen\'{\i} v\v{s}ak nemus\'{\i}me
o~Fermiho--Diracov\v{e} rozd\v{e}len\'{\i} v\v{e}d\v{e}t t\'em\v{e}\v{r} nic. \'Upln\v{e} vysta\v{c}\'{\i}me se
znalost\'{\i} Pauliho vylu\v{c}ovac\'{\i}ho principu, podle n\v{e}j\v{z} \v{z}\'adn\'e dva fermiony
nemohou b\'yt v~tomt\'e\v{z} stavu (na stejn\'e energetick\'e hladin\v{e} a se stejn\'ym
spinem). V~degenerovan\'em Fermiho plynu jsou v\v{s}echny stavy s~energi\'{\i}
men\v{s}\'{\i} nebo rovnou Fermiho energii $E_{\rm F}$ obsazeny, v\v{s}echny stavy
s~vy\v{s}\v{s}\'{\i} energi\'{\i} jsou pr\'azdn\'e. Pouh\'e pov\v{e}dom\'{\i} o~tom, \v{z}e Fermiho-Diracovo
rozd\v{e}len\'{\i} je funkc\'{\i} bezrozm\v{e}rn\'eho parametru rovn\'eho pod\'{\i}lu energie a
$k_{\rm B}T$, kde $k_{\rm B}$ je Boltzmannova konstanta, n\'am pak sta\v{c}\'{\i}
k~posouzen\'{\i}, kdy m\accent23u\v{z}eme o~soustav\v{e} fermion\accent23u uva\v{z}ovat jako 
o~degenerovan\'em Fermiho plynu --- pot\v{r}ebujeme, aby $T\approx 0$, co\v{z}
znamen\'a, \v{z}e $k_{\rm B}T\ll E_{\rm F}$. (Dal\v{s}\'{\i} podm\'{\i}nkou samoz\v{r}ejm\v{e} bude
zanedbatelnost interakce mezi \v{c}\'asticemi: typick\'a potenci\'aln\'{\i} energie
t\'eto interakce mus\'{\i} b\'yt mnohem men\v{s}\'{\i} ne\v{z} kinetick\'a energie \v{c}\'astic, co\v{z}
znamen\'a, \v{z}e v~p\v{r}\'{\i}padn\'ych kvantitativn\'{\i}ch \'uvah\'ach bychom ji rovn\v{e}\v{z}
srovn\'avali s~$E_{\rm F}$ --- p\v{r}\'{\i}sp\v{e}vek potenci\'aln\'{\i} energie k~$E_{\rm F}$
mus\'{\i} b\'yt zanedbateln\'y.)

U~\v{c}\'astic degenerovan\'eho Fermiho plynu mus\'{\i}me po\v{c}\'{\i}tat i s~relativistick\'ymi
rychlostmi. \v{C}lov\v{e}ka uvykl\'eho klasick\'e termodynamice m\accent23u\v{z}e zarazit, \v{z}e
\v{c}\'astice se pohybuj\'{\i} vysok\'ymi rychlostmi p\v{r}i zanedbateln\'e teplot\v{e} (a~v\accent23ubec
\v{z}e teplota je zanedbateln\'a ve srovn\'an\'{\i} s~kinetickou energi\'{\i} \v{c}\'astic), ale
snadno nahl\'edneme, \v{z}e to je d\accent23usledek Pauliho principu --- n\v{e}kter\'e
fermiony se mus\'{\i} pohybovat vysok\'ymi rychlostmi i p\v{r}i $T=0{\rm K}$,
proto\v{z}e stavy s~rychlostmi ni\v{z}\v{s}\'{\i}mi jsou obsazeny. Mezi (kinetickou)
energi\'{\i}~$E$, klidovou hmotnost\'{\i}~$m$, rychlost\'{\i}~$\vec v$ a hybnost\'{\i}~$\vec p$,
jimi\v{z} budeme jednotliv\'e \v{c}\'astice popisovat, tedy budeme
p\v{r}edpokl\'adat vztahy podle speci\'aln\'{\i} teorie relativity (rychlost sv\v{e}tla
ozna\v{c}\'{\i}me $c$, jak b\'yv\'a zvykem):
$$\eqalignno{E&={mc^2\over\sqrt{1-{v^2\over c^2}}}&(2.1)\cr
\vec p&={m\vec v\over\sqrt{1-{v^2\over c^2}}}&(2.2)\cr
E^2-p^2c^2&={m^2c^4\over (1-{v^2\over c^2})}-{m^2v^2c^2\over (1-{v^2\over
c^2})}\cr &=m^2c^4&(2.3)\cr}$$

Zaj\'{\i}m\'a n\'as vztah mezi tlakem $P$ a hustotou $\varrho$ degenerovan\'eho
Fermiho plynu. Z~d\accent23uvod\accent23u, je\v{z} se vyjasn\'{\i} pozd\v{e}ji, nalezneme m\'{\i}sto n\v{e}j
vztah mezi $P$ a \v{c}\'{\i}selnou hustotou \v{c}\'astic $n$. Nejprve vypo\v{c}teme $n$.
Vyjdeme p\v{r}i tom z~interpretace Heissenbergova principu neur\v{c}itosti,
podle n\'{\i}\v{z} ka\v{z}d\'y energetick\'y stav zauj\'{\i}m\'a ve f\'azov\'em prostoru f\'azov\'y
objem rovn\'y Planckov\v{e}
konstant\v{e}~$h^3$. Nach\'az\'{\i}-li se degenerovan\'y Fermiho plyn v~objemu~$V$ a
m\'a-li Fermiho energii~$E_{\rm F}$, s~n\'{\i}\v{z} je vztahem (2.3) jednozna\v{c}n\v{e}
spojen Fermiho impuls~$\pF$, vypl\v{n}uje f\'azov\'y objem
$$\eqalignno{V_\varphi&=V\cdot\int\limits_0^{\pF}{\rm
d}p\int\limits_0^\pi p{\rm d}\vartheta\int\limits_0^{2\pi}
p\sin\vartheta {\rm d}\varphi =V\cdot\int\limits_0^{\pF}4\pi p^2{\rm
d}p\cr &=V\cdot {4\pi\over 3}\pF^3&(2.4)}$$
Pro fermiony se spinem $s$ (kter\'y, jak zn\'amo, mus\'{\i} b\'yt polocel\'y)
p\v{r}edstavuje jeden energetick\'y stav o~f\'azov\'em objemu $h^3$ celkem $(2s+1)$
stav\accent23u, tak\v{z}e po\v{c}et $N$ \v{c}\'astic v~objemu $V$ je:
$$N=V\cdot {(2s+1)\over h^3}{4\pi\over 3}\pF^3\eqno{(2.5)}$$
\v{C}\'{\i}selnou hustotu \v{c}\'astic $n$ dostaneme z~(2.4) prost\'ym vyd\v{e}len\'{\i}m objemem
$V$:
$$n={(2s+1)\over h^3}{4\pi\over 3}\pF^3\eqno{(2.6)}$$
S~ohledem na m\v{e}\v{r}itelnost veli\v{c}in bychom se na tento vztah m\v{e}li d\'{\i}vat
sp\'{\i}\v{s}e jako na vyj\'ad\v{r}en\'{\i} Fermiho hybnosti pomoc\'{\i} \v{c}\'{\i}seln\'e hustoty \v{c}\'astic,
ale v~dal\v{s}\'{\i}ch \'uprav\'ach se n\'am bude hodit pr\'av\v{e} v~podob\v{e} (2.6).

Abychom ur\v{c}ili tlak $P$ odpov\'{\i}daj\'{\i}c\'{\i} Fermiho hybnosti $\pF$, uva\v{z}ujme
(nekone\v{c}n\v{e} malou) plo\v{s}ku $S$ a spo\v{c}t\v{e}me s\'{\i}lu $F$, kterou na ni
degenerovan\'y Fermiho plyn p\accent23usob\'{\i}. Z~\v{c}\'astic let\'{\i}c\'{\i}ch k~plo\v{s}ce~$S$
rychlost\'{\i}~$\vec v$, je\v{z} sv\'{\i}r\'a \'uhel $\vartheta$ s~norm\'alou plo\v{s}ky, dopadnou
na tuto plo\v{s}ku za (nekone\v{c}n\v{e} mal\'y) \v{c}as ${\rm d}t$ v\v{s}echny, kter\'e se nach\'azej\'{\i}
v~objemu
$$V=S(v\cos\vartheta ){\rm d}t\eqno{(2.7)}$$
kde $v\equiv |\vec v|$ je velikost rychlosti $\vec v$. Ka\v{z}d\'a takov\'a
\v{c}\'astice se od plo\v{s}ky odraz\'{\i} --- pr\accent23um\v{e}t jej\'{\i} rychlosti do norm\'aly plo\v{s}ky
se obr\'at\'{\i} (p\v{r}edpokl\'ad\'ame, \v{z}e sr\'a\v{z}ka je dokonale pru\v{z}n\'a). To znamen\'a, \v{z}e
odra\v{z}en\'a \v{c}\'astice p\v{r}edala plo\v{s}ce hybnost
$$\Delta p=2p\cos\vartheta\eqno{(2.8)}$$
kde $p$ je
velikost hybnosti \v{c}\'astice. Vztah mezi $\vec v$ a $\vec p$ ur\v{c}uje
rovnice~(2.2) --- oba vektory jsou rovnob\v{e}\v{z}n\'e a mezi $v$ a $p$ plat\'{\i}:
$$\eqalignno{p^2-p^2{v^2\over c^2}&=m^2v^2\cr &\Downarrow\cr
{v\over c}&={p\over\sqrt{p^2+m^2c^2}}&(2.9)\cr}$$
S\'{\i}lu $F$ dostaneme jako pod\'{\i}l celkov\'e hybnosti, ji\v{z} plo\v{s}ka p\v{r}ijme za \v{c}as
${\rm d}t$, a \v{c}asu ${\rm d}t$; podobn\v{e} jako p\v{r}i v\'ypo\v{c}tu $n$ budeme
integrovat p\v{r}es f\'azov\'y prostor (objem $V$ tentokr\'at z\'avis\'{\i} na hybnosti)
a pou\v{z}ijeme toho, \v{z}e ve f\'azov\'em objemu $h^3$ le\v{z}\'{\i} $(2s+1)$ stav\accent23u:
$$\eqalignno{F&={1\over{\rm d}t}{(2s+1)\over h^3}\int\limits_0^\pF{\rm
d}p\int\limits_0^{\pi /2}p{\rm d}\vartheta\int\limits_0^{2\pi}
p\sin\vartheta {\rm d}\varphi V\Delta p\cr
&={1\over{\rm d}t}{(2s+1)\over h^3}\int\limits_0^\pF{\rm
d}p\int\limits_0^{\pi /2}p{\rm d}\vartheta2\pi
p\sin\vartheta S(v\cos\vartheta){\rm d}t2p\cos\vartheta\cr
&={(2s+1)\over h^3}4\pi\int\limits_0^\pF{\rm
d}p p^3\int\limits_0^{\pi /2}{\rm d}\vartheta
\sin\vartheta S\left(c{p\over\sqrt{p^2+m^2c^2}}\cos\vartheta
\right)\cos\vartheta\cr
&={(2s+1)\over h^3}4\pi Sc\int\limits_0^\pF{\rm
d}p{p^4\over\sqrt{p^2+m^2c^2}}\int\limits_0^{\pi /2}{\rm d}\vartheta
\sin\vartheta (\cos\vartheta )^2&(2.10)\cr}$$
P\v{r}es $\vartheta$ integrujeme pouze do ${\pi\over 2}$, proto\v{z}e n\'as
zaj\'{\i}maj\'{\i} pouze \v{c}\'astice dopadaj\'{\i}c\'{\i} na jednu stranu plo\v{s}ky. Z~(2.10)
dostaneme tlak $P$ pouh\'ym vyd\v{e}len\'{\i}m s\'{\i}ly $F$ plo\v{s}kou $S$ (p\v{r}ipome\v{n}me si,
\v{z}e $S$ uva\v{z}ujeme nekone\v{c}n\v{e} malou, abychom m\v{e}li tlak $P$ definovan\'y
lok\'aln\v{e}):
$$P={(2s+1)\over h^3}4\pi c\int\limits_0^\pF{\rm
d}p{p^4\over\sqrt{p^2+m^2c^2}}\int\limits_0^{\pi /2}{\rm d}\vartheta
\sin\vartheta \cos^2\vartheta\eqno{(2.11)}$$

Ve vzorci (2.11) pot\v{r}ebujeme spo\v{c}\'{\i}tat integr\'aly. P\v{r}es \'uhel $\vartheta$
p\v{r}eintegrujeme snadno:
$$\int\limits_0^{\pi /2}\cos^2\vartheta\sin\vartheta{\rm
d}\vartheta=\int\limits_1^0\cos^2\vartheta (-{\rm d}\cos\vartheta
)={1\over 3}\eqno{(2.12)}$$
V~integr\'alu p\v{r}es $p$ provedeme substituci
$$\eqalign{\sinh\theta &={p\over mc}\cr
\cosh\theta {\rm d}\theta &={1\over mc}{\rm d}p\cr}\eqno{(2.13)}$$
Potom
$$p^2c^2+m^2c^4=m^2c^4\left(\left({p\over
mc}\right)^2+1\right)=m^2c^4(\sinh^2\theta
+1)=m^2c^4\cosh^2\theta\eqno{(2.14)}$$
a integrujeme od 0 do $\theta_{\rm F}$, kde
$$\sinh\theta_{\rm F}={\pF\over mc}\eqno{(2.15)}$$
Dostaneme:
$$\eqalignno{\int\limits_0^\pF{p^4\over\sqrt{p^2+m^2c^2}}{\rm
d}p&=\int\limits_0^{\theta_{\rm
F}}{m^4c^4\sinh^4\theta\over\sqrt{m^2c^2\cosh^2\theta}}mc\cosh\theta{\rm
d}\theta\cr &=\int\limits_0^{\theta_{\rm F}}m^4c^4\sinh^4\theta {\rm
d}\theta &(2.16)\cr}$$
S~vyu\v{z}it\'{\i}m identit
$$\vcenter{\openup1\jot \halign{$\displaystyle\hfil#$&&$\displaystyle
{}#\hfil$\cr
\sinh^2\theta&=\left({{\rm e}^\theta-{rm e}^{-\theta}\over
2}\right)^2&={{\rm e}^{2\theta}-2+{\rm e}^{-2\theta}\over 4}&={1\over
2}(\cosh 2\theta -1)\cr
\cosh^2\theta&=\left({{\rm e}^\theta+{rm e}^{-\theta}\over
2}\right)^2&={{\rm e}^{2\theta}+2+{\rm e}^{-2\theta}\over 4}&={1\over
2}(\cosh 2\theta +1)\cr}}\eqno{(2.17)}$$
pak uprav\'{\i}me:
$$\eqalignno{\sinh^4\theta&=\left({1\over 2}(\cosh 2\theta
-1)\right)^2={1\over 4}(cosh^22\theta -2cosh 2\theta +1)\cr &={1\over
4}\left({1\over 2}(\cosh 4\theta +1)-2\cosh 2\theta +1\right)={1\over
8}\cosh 4\theta -{1\over 2}\cosh 2\theta +{3\over 8}&(2.18)}$$
a zintegrujeme:
$$\int\limits_0^{\theta_{\rm F}}\sinh^4\theta {\rm
d}\theta=\int\limits_0^{\theta_{\rm F}}\left({1\over 8}\cosh 4\theta
-{1\over 2}\cosh 2\theta +{3\over 8}\right){\rm d}\theta={1\over
32}\sinh 4\theta_{\rm F}-{1\over 4}\sinh 2\theta_{\rm F}+{3\over
8}\theta_{\rm F}\eqno{(2.19)}$$
Tento v\'ysledek uprav\'{\i}me pomoc\'{\i} (2.17) a dal\v{s}\'{\i} identity:
$$\sinh 2\theta ={{\rm e}^{2\theta}-{\rm e}^{-2\theta}\over 2}={({\rm
e}^\theta -{\rm e}^{-\theta})({\rm e}^\theta +{\rm e}^{-\theta})\over
2}=2\sinh\theta\cosh\theta=2\sinh\theta\sqrt{\sinh^2\theta+1}\eqno{(2.20)}$$
na
$$\eqalignno{\int\limits_0^{\theta_{\rm F}}\sinh^4\theta {\rm d}\theta
&={1\over 16}\sinh 2\theta_{\rm F}\cosh 2\theta_{\rm F}-{1\over
2}\sinh\theta_{\rm F}\cosh\theta_{\rm F}+{3\over 8}\theta_{\rm F}\cr
&={1\over 8}\sinh\theta_{\rm F}\cosh\theta_{\rm F}(2\sinh^2\theta_{\rm
F}+1)-{1\over 2}\sinh\theta_{\rm F}\cosh\theta_{\rm F}+{3\over
8}\theta_{\rm F}\cr
&={1\over 4}\sinh^3\theta_{\rm F}\cosh\theta_{\rm F}-{3\over
8}\sinh\theta_{\rm F}\cosh\theta_{\rm F}+{3\over 8}\theta_{\rm F}\cr
&={1\over 4}\left(\sinh\theta_{\rm F}\left(\sinh^2\theta_{\rm F}-{3\over
2}\right)\sqrt{\sinh^2\theta_{\rm F}+1}+{3\over 2}\theta_{\rm
F}\right)&(2.21)\cr}$$
(2.21) dosad\'{\i}me do (2.16) a vezmeme v~\'uvahu (2.15):
$$\int\limits_0^\pF{p^4\over\sqrt{p^2+m^2c^2}}{\rm d}p={m^4c^4\over
4}\left({\pF\over mc}\left(\left({\pF\over mc}\right)^2-{3\over
2}\right)\sqrt{\left({\pF\over mc}\right)^2+1}+{3\over
2}\arg\sinh\left({\pF\over mc}\right)\right)\eqno{(2.22)}$$

V\'ysledky (2.22) a (2.12) dosad\'{\i}me do (2.11):
$$P={(2s+1)\over h^3}{\pi c\over 3}m^4c^4\left({\pF\over mc}\left(\left({\pF\over mc}\right)^2-{3\over
2}\right)\sqrt{\left({\pF\over mc}\right)^2+1}+{3\over
2}\arg\sinh\left({\pF\over mc}\right)\right)\eqno{(2.23)}$$
Zavedeme-li bezrozm\v{e}rn\'y parametr $x$:
$$x=_{\rm def.}{\pF\over mc}\eqno{(2.24)}$$
dostaneme z~rovnic (2.6) a (2.23) parametrick\'e vyj\'ad\v{r}en\'{\i} \v{c}\'{\i}seln\'e hustoty
\v{c}\'astic a tlaku pro degenerovan\'y Fermiho plyn:
$$\eqalign{n&=(2s+1){4\pi\over 3}\left({mc\over h}\right)^3x^3\cr
P&=(2s+1){\pi\over 6}\left({mc\over
h}\right)^3mc^2f(x)\cr}\eqno{(2.25)}$$
kde
$$f(x)\equiv x(2x^2-3)\sqrt{x^2+1}+3\arg\sinh x\eqno{(2.26)}$$

Mohlo by se zd\'at, \v{z}e vztah mezi $P$ a $n$ nem\'a mnoho spole\v{c}n\'eho se
vztahem mezi $P$ a $\varrho$, nebo\softt{} hustotu $\varrho$ bychom m\v{e}li
po\v{c}\'{\i}tat jako integr\'al celkov\'e (to jest v~na\v{s}em p\v{r}\'{\i}pad\v{e} klidov\'e plus
kinetick\'e) energie \v{c}\'astic. N\'as v\v{s}ak zaj\'{\i}m\'a b\'{\i}l\'y trpasl\'{\i}k, v~n\v{e}m\v{z} sice
rozhoduj\'{\i}c\'{\i} p\v{r}\'{\i}sp\v{e}vek k~tlaku poch\'az\'{\i} od lehk\'ych, rychle se pohybuj\'{\i}c\'{\i}ch
elektron\accent23u, ale na hustotu maj\'{\i} nejv\v{e}t\v{s}\'{\i} vliv t\v{e}\v{z}k\'e, pomal\'e nukleony;
proto\v{z}e po\v{c}et nukleon\accent23u je \'um\v{e}rn\'y po\v{c}tu elektron\accent23u (konstanta \'um\v{e}rnosti
z\'avis\'{\i} na chemick\'em a izotopick\'em slo\v{z}en\'{\i} l\'atky), bude $\varrho$ \'um\v{e}rn\'a
$n$.

Z~rovnic (2.25), (2.26) snadno zjist\'{\i}me, jak se degenerovan\'y Fermiho
plyn chov\'a v~ultrarelativistick\'e limit\v{e} ($x\gg 1$):
$$f(x\gg 1)\approx 2x^4\Rightarrow
P\sim\varrho^{4/3}\eqno{(2.27)}$$
Klasick\'a limita ($x\rightarrow 0$) se spo\v{c}te pon\v{e}kud obt\'{\i}\v{z}n\v{e}ji, nebo\softt{}
rozvoj f(x) do Taylorovy \v{r}ady nen\'{\i} nejsnaz\v{s}\'{\i}; ukazuje se, \v{z}e prvn\'{\i}
nenulov\'y \v{c}len je a\v{z} p\'at\'eho stupn\v{e}. U\v{z}ijeme-li tedy p\v{r}ibli\v{z}n\'ych vzorc\accent23u
p\'at\'eho \v{r}\'adu
$$\eqalign{\arg\sinh x&\approx x-{1\over 6}x^3+{3\over 40}x^5\cr
\sqrt{1+x^2}&\approx 1+{1\over 2}x^2-{1\over 8}x^4\cr}\eqno{(2.28)}$$
dostaneme
$$\eqalignno{f(x\ll 1)&\approx x\left(1+{1\over 2}x^2-{1\over
8}x^4\right)\left(2x^2-3\right)+3x-{1\over 2}x^3+{9\over 40}x^5\cr
&\approx {8\over 5}x^5\Rightarrow P\sim\varrho^{5/3}&(2.29)}$$

\penalty -100
\vskip 6pt
\leftline{\bf 3. B\'{\i}l\'y trpasl\'{\i}k}
\penalty 10000
Abychom mohli dosadit (2.25) do (1.17), pot\v{r}ebujeme je\v{s}t\v{e} vyj\'ad\v{r}it
hustotu $\varrho$ pomoc\'{\i} \v{c}\'{\i}seln\'e hustoty \v{c}\'astic degenerovan\'eho Fermiho
plynu $n$. V~p\v{r}\'{\i}pad\v{e} b\'{\i}l\'eho trpasl\'{\i}ka je degenerovan\'y Fermiho plyn
tvo\v{r}en elektrony, jejich\v{z} \v{c}\'{\i}seln\'a hustota $\varrho_{\rm e}$ mus\'{\i} b\'yt
rovna (kv\accent23uli elektroneutralit\v{e}) \v{c}\'{\i}seln\'e hustot\v{e} proton\accent23u. Jsou-li tedy ve
hmot\v{e} b\'{\i}l\'eho trpasl\'{\i}ka zastoupeny prvky s~protonov\'ym \v{c}\'{\i}slem $Z$ a
nukleonov\'ym \v{c}\'{\i}slem $A_Z$ v~mol\'arn\'{\i}ch zlomc\'{\i}ch $X_Z$, bude:
$$n_{\rm e}={\varrho\over m_{\rm H}}\sum_Z{X_ZZ\over A_Z}={\varrho\over
m_{\rm H}}\sum_ZX_Z{1\over\mu_{\rm e}(Z)}={\varrho\over\mu_{\rm e}m_{\rm
H}}\eqno{(3.1)}$$
kde $m_{\rm H}$ je hmotnost protonu (\v{c}ili j\'adra H), $\mu_{\rm
e}(Z)\equiv {A_Z\over Z}$ hmotnostn\'{\i} faktor j\'adra $Z$ a $\mu_{\rm e}$ je
efektivn\'{\i} hmotnostn\'{\i} faktor dan\'e sm\v{e}si. Pro vod\'{\i}k je $\mu_{\rm e}=1$,
pro prvky od helia po kysl\'{\i}k m\'a hodnotu 2 a pro t\v{e}\v{z}\v{s}\'{\i} prvky roste;
proto\v{z}e vod\'{\i}k bude v~b\'{\i}l\'em trpasl\'{\i}kovi pravd\v{e}podobn\v{e} sp\'alen a pro
\v{z}elezo, je\v{z} je nejt\v{e}\v{z}\v{s}\'{\i}m prvkem, jak\'y m\accent23u\v{z}eme v~b\'{\i}l\'em trpasl\'{\i}kovi
o\v{c}ek\'avat ve v\'yznamn\v{e}j\v{s}\'{\i}m mno\v{z}stv\'{\i}, je $\mu_{\rm e}\doteq 2{,}15$, budeme
nad\'ale p\v{r}edpokl\'adat $\mu_{\rm e}=2$.

Spojen\'{\i}m (3.1) s~(2.25) dostaneme:
$$\eqalign{\varrho&=\varrho_0x^3\cr P&=P_0f(x)\cr}\eqno{(3.2)}$$
kde
$$\eqalign{\varrho_0&=(2s+1){4\pi\over 3}\left({m_{\rm e}c\over
h}\right)^3\mu_{\rm e}m_{\rm H}\cr
P_0&=(2s+1){\pi\over 6}\left({m_{\rm e}c\over h}\right)^3m_{\rm
e}c^2\cr}\eqno{(3.3)}$$
V~t\v{e}chto vztaz\'{\i}ch $m_{\rm e}$ znamen\'a klidovou hmotnost elektronu; jeho
spin $s={1\over 2}$.

Rovnice (1.17) a (3.2) je\v{s}t\v{e} netvo\v{r}\'{\i} \'uplnou soustavu, nebo\softt{} sch\'az\'{\i} vztah
pro gravita\v{c}n\'{\i} potenci\'al $\phi$. Pou\v{z}ijeme klasick\'y Newton\accent23uv gravita\v{c}n\'{\i}
z\'akon (pro sf\'ericky symetrick\'y p\v{r}\'{\i}pad):
$$\phi=-G{M\over r}\eqno{(3.4)}$$
kde $G$ je gravita\v{c}n\'{\i} konstanta, $M$ hmotnost uzav\v{r}en\'a v~kouli o~polom\v{e}ru
$r$ a $r$ vzd\'alenost dan\'eho bodu od st\v{r}edu symetrie. Rovnice (1.17) pak
p\v{r}ejde na:
$$-{GM\over r^2}={1\over\varrho}{{\rm d}P\over{\rm d}r}\eqno{(3.5)}$$
Soustavu rovnic uzav\v{r}eme rovnic\'{\i} pro hmotnost $M$:
$${{\rm d}M\over {\rm d}r}=4\pi r^2\varrho\eqno{(3.6)}$$

S~ohledem na (3.2) dostaneme z~(3.5) a (3.6) (pomoc\'{\i} obl\'{\i}ben\'eho kr\'acen\'{\i}
diferenci\'al\accent23u):
$$\eqalign{P_0{{\rm d}f(x)\over{\rm d}M}&=-{GM\over 4\pi r^4}\cr
{{\rm d}r\over{\rm d}M}&={1\over 4\pi r^2\varrho_0x^3}\cr}\eqno{(3.7)}$$
Zap\'{\i}\v{s}eme $M$ a $r$ pomoc\'{\i} bezrozm\v{e}rn\'ych parametr\accent23u $\cal M$, $\xi$:
$$M=M_0{\cal M}\qquad r=r_0\xi\eqno{(3.8)}$$
p\v{r}i\v{c}em\v{z} konstanty $M_0$, $r_0$ se pokus\'{\i}me zvolit tak, aby rovnice (3.7)
dostaly co nejjednodu\v{s}\v{s}\'{\i} tvar.
$$\eqalign{{P_0\over M_0}{{\rm d}f(x)\over{\rm d}{\cal M}}&=-{GM_0{\cal
M}\over 4\pi {r_0}^4\xi^4}\cr
{r_0\over M_0}{{\rm d}\xi\over{\rm d}{\cal M}}&={1\over 4\pi
{r_0}^2\varrho_0x^3\xi^2}\cr}\quad\Rightarrow\quad
\eqalign{{{\rm d}f(x)\over{\rm d}{\cal M}}&=-{1\over 4\pi}{G{M_0}^2\over
P_0{r_0}^4}{{\cal M}\over\xi^4}\cr
{{\rm d}\xi\over{\rm d}{\cal M}}&={1\over
4\pi}{M_0\over\varrho_0{r_0}^3}{1\over x^3\xi^2}\cr}\eqno{(3.9)}$$
Budeme po\v{z}adovat
$${G{M_0}^2\over P_0{r_0}^4}=1\quad\wedge\quad
{M_0\over\varrho_0{r_0}^3}=1\eqno{(3.10)}$$
a dostaneme:
$$\vcenter{\openup1\jot \halign{$\displaystyle\hfil#$&&$\displaystyle
{}#\hfil$\cr
r_0&={1\over\varrho_0}\sqrt{P_0\over G}&={1\over 4\mu_{\rm
e}m_{\rm H}}(2s+1)^{-3/2}\left({h\over m_{\rm
e}c}\right)^{3/2}\sqrt{6m_{\rm e}c^2\over \pi G}\cr
M_0&=\varrho_0{r_0}^3&={1\over (8\mu_{\rm e}m_{\rm
H})^2}(2s+1)^{-5/2}\left({hc\over G}\right)^{3/2}\sqrt{6\over\pi}\cr}}%
\eqno{(3.11)}$$

Nyn\'{\i} m\'ame soustavu dvou diferenci\'aln\'{\i}ch rovnic
$$\eqalign{{{\rm d}f(x)\over{\rm d}{\cal M}}&=-{{\cal M}\over
4\pi\xi^4}\cr {{\rm d}\xi\over{\rm d}{\cal M}}&={1\over
4\pi\xi^2x^3}\cr}\eqno{(3.12)}$$
Je\v{s}t\v{e} vypo\v{c}teme derivaci $f(x)$ z~(2.26):
$${{\rm d}f(x)\over{\rm d}x}=(2x^2-3)\sqrt{x^2+1}+x(4x)\sqrt{x^2+1}%
+x(2x^2-3){x\over\sqrt{x^2+1}}+{3\over\sqrt{x^2+1}}=%
{8x^4\over\sqrt{x^2+1}}\eqno{(3.13)}$$
a dosad\'{\i}me ji do (3.12):
$$\Vramu{$\displaystyle\eqalign{{{\rm d}x\over{\rm d}{\cal M}}&=%
-{{\cal M}\sqrt{x^2+1}\over
32\pi\xi^4x^4}\cr {{\rm d}\xi\over{\rm d}{\cal M}}&={1\over
4\pi\xi^2x^3}\cr}$}\eqno{\raise\hloubka\hbox{(3.14)}}$$

Rovnice (3.14) jsou, bohu\v{z}el, v~okol\'{\i} st\v{r}edu hv\v{e}zdy ($\xi\rightarrow 0,
{\cal M}\rightarrow 0$) singul\'arn\'{\i}; prav\'a strana druh\'e z~nich diverguje
dokonce jako $\left({1\over\xi}\right)^2$. Divergenci na prav\'e stran\v{e}
prvn\'{\i} rovnice m\accent23u\v{z}eme posoudit, kdy\v{z} si uv\v{e}dom\'{\i}me, \v{z}e ze druh\'e rovnice
vypl\'yv\'a pro mal\'a $\xi$ podle l'Hospitalova pravidla:
$$\lim_{\xi\to 0}{{\cal M}\over\xi^3}={1\over 3\xi^2{{\rm d}\xi\over{\rm
d}{\cal M}}}={4\over 3}\pi x^3\eqno{(3.15)}$$
(Proto\v{z}e $x^3$ zde hraje roli hustoty --- viz (3.2) ---, ne\v{r}\'{\i}k\'a (3.15)
vlastn\v{e} nic jin\'eho, ne\v{z} \v{z}e nekone\v{c}n\v{e} mal\'a koule je homogenn\'{\i}.) Ze vztahu
(3.15) snadno zjist\'{\i}me, \v{z}e prav\'a strana prvn\'{\i} rovnice z~(3.14) diverguje
jako ${1\over\xi}$, tedy m\'en\v{e} ne\v{z} prav\'a strana rovnice druh\'e.

\v{C}\'aste\v{c}n\v{e} si m\accent23u\v{z}eme pomoci t\'{\i}m, \v{z}e m\'{\i}sto $\cal M$ pou\v{z}ijeme jako
integra\v{c}n\'{\i} prom\v{e}nnou $x$. Kdo se neboj\'{\i} d\v{e}lit diferenci\'aly, snadno
nahl\'edne, \v{z}e rovnice (3.14) jsou ekvivalentn\'{\i} rovnic\'{\i}m
$$\Vramu{$\displaystyle\eqalign{{{\rm d}{\cal M}\over{\rm d}x}&=%
-{32\pi\xi^4x^4\over{\cal M}\sqrt{x^2+1}}\cr
{{\rm d}\xi\over{\rm d}x}&=-{8\xi^2x\over
{\cal M}\sqrt{x^2+1}}\cr}$}\eqno{\raise\hloubka\hbox{(3.16)}}$$
V~rovnic\'{\i}ch (3.16) diverguje pro $\xi\rightarrow 0$ u\v{z} pouze prav\'a
strana druh\'e rovnice, a to jako ${1\over\xi}$, co\v{z} se d\'a p\v{r}i dostate\v{c}n\'e
kapacit\v{e} v\'ypo\v{c}etn\'{\i} techniky pom\v{e}rn\v{e} rozumn\v{e} zvl\'adnout.

Rovnice (3.16) se numericky integruj\'{\i} od zvolen\'e hodnoty $x$ do nuly,
kter\'a\v{z}to hodnota definitoricky odpov\'{\i}d\'a povrchu hv\v{e}zdy (nulov\'a hustota,
nulov\'y tlak). Kv\accent23uli singul\'arn\'{\i}mu chov\'an\'{\i} druh\'e rovnice kolem st\v{r}edu
hv\v{e}zdy se neza\v{c}\'{\i}n\'a integrovat p\v{r}\'{\i}mo z~po\v{c}\'atku, ale od vhodn\v{e} mal\'e
po\v{c}\'ate\v{c}n\'{\i} hodnoty $\xi$, k~n\'{\i}\v{z} se dopo\v{c}te p\v{r}\'{\i}slu\v{s}n\'a hodnota $\cal M$
podle (3.15). Tak lze studovat z\'avislost hmotnosti hv\v{e}zdy na hustot\v{e}
v~jej\'{\i}m st\v{r}edu nebo vztah mezi hmotnost\'{\i} a polom\v{e}rem hv\v{e}zdy.

%\input trproml
%\input trp-rm
N\'asleduj\'{\i}c\'{\i} grafy byly po\v{r}\'{\i}zeny takovouto integrac\'{\i} v~syst\'emu Famulus.
Jako jednotka hmotnosti byla pou\v{z}ita hmotnost Slunce, jako jednotka
d\'elky jeho polom\v{e}r a jako jednotka hustoty (ne zcela konzistentn\v{e}, le\v{c}
n\'azorn\v{e}) hustota vody. Oba dva grafy maj\'{\i} logaritmickou \v{s}k\'alu, aby
pokryly co nejv\v{e}t\v{s}\'{\i} oblast hodnot.

\penalty10000\vskip 6pt plus 0.3\vsize
\penalty-1000
%\settrproml
Prvn\'{\i} graf zachycuje z\'avislost hmotnosti na hustot\v{e}. Vid\'{\i}me, \v{z}e p\v{r}i
$\log(M/M_\odot)\approx 0.2$ se k\v{r}ivka st\'a\v{c}\'{\i} tak, \v{z}e v\v{e}t\v{s}\'{\i} hustot\v{e}
hv\v{e}zdy by m\v{e}la odpov\'{\i}dat men\v{s}\'{\i} hmotnost. Tomu by m\v{e}lo odpov\'{\i}dat, \v{z}e
b\'{\i}l\'y trpasl\'{\i}k, kter\'y (nap\v{r}\'{\i}klad akrec\'{\i}) dos\'ahne kritick\'e hmotnosti,
nem\accent23u\v{z}e p\v{r}ej\'{\i}t malou zm\v{e}nou vnit\v{r}n\'{\i}ho uspo\v{r}\'ad\'an\'{\i} do stabiln\'{\i}ho stavu a
za\v{c}ne kolabovat. P\v{r}i tro\v{s}e dobr\'e v\accent23ule si to lze vykl\'adat jako
Chandrasekharovu mez --- podle grafu by sice m\v{e}l kolabuj\'{\i}c\'{\i} b\'{\i}l\'y
trpasl\'{\i}k nakonec p\v{r}ece jen dos\'ahnou rovnov\'a\v{z}n\'eho stavu, ale nen\'{\i} jisto,
zda takov\'y stav je\v{s}t\v{e} le\v{z}\'{\i} v~oblasti, kde popis hmoty hv\v{e}zdy jako
degenerovan\'eho elektronov\'eho plynu odpov\'{\i}d\'a skute\v{c}nosti.

\penalty10000\vskip 6pt plus 0.3\vsize
\penalty-1000
%\settrprm
Druh\'y graf zobrazuje vztah mezi polom\v{e}rem b\'{\i}l\'eho trpasl\'{\i}ka a jeho
hmotnost\'{\i}. Chandrasekharova mez se tu projevuje podobn\v{e} jako 
v~p\v{r}edchoz\'{\i}m grafu, m\'ame mo\v{z}nost p\v{r}esv\v{e}d\v{c}it se, \v{z}e p\v{r}i kolapsu hv\v{e}zdy se
bude jej\'{\i} polom\v{e}r (p\v{r}esn\v{e} podle o\v{c}ek\'av\'an\'{\i}) zmen\v{s}ovat. Stoj\'{\i} za
pov\v{s}imnut\'{\i}, \v{z}e k\v{r}ivka z\'avislosti $\log(M/M_\odot)$ na $\log(R/R_\odot)$
proch\'az\'{\i} dosti daleko od bodu $[0,0]$; souvis\'{\i} to, pochopiteln\v{e}, se
skute\v{c}nost\'{\i}, \v{z}e na\v{s}e Slunce nen\'{\i} b\'{\i}l\'ym trpasl\'{\i}kem.
\bye


